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300多年过去了,“三体问题”有解了吗

冯杰

2023年03月02日 01:51

实习记者 骆香茹
科技日报

岁末年初,《三体》《流浪地球2》等科幻影视作品中的行星发动机、太空电梯,引发了人们对科幻造梦、科学圆梦的讨论。

科学与科幻“你来我往”、互为灵感并非新鲜事。有1000部科幻作品,就有1001个科学问题。今起本报推出“科幻开脑洞 科学找答案”栏目,以科幻为经、科学为纬,绘就人类在科学上钻研、在科幻上畅想的图景。

“它是三体纪念碑,也是一个墓碑。”

“墓碑?谁的?”

“一个努力的,一个延续了近二百个文明的努力,为解决三体问题的努力,寻找太阳运行规律的努力。”

“这努力终结了吗?”

“到现在为止,彻底终结了。”

“已经确切地证明,三体问题无解。”

……

在刘慈欣的小说《三体》里,“三体问题”作为“三体人”远征的原初动力,推动了小说的发展。确切地说,正是由于“三体问题无解”,“三体人”才不得不向地球出发。

随着《三体》动画版及真人版相继播出,既古老又崭新的“三体问题”也再度进入大众视野。如今,“三体问题”已提出300多年,《三体》问世也十年有余,科幻在进步,科学家求解“三体问题”有哪些进展?

“二体问题”解决了,然后呢?

“三体问题”究竟是什么?它为何如此重要,让无数科学家为之着迷?

在小说《三体》里,“三体人”生活在由三颗恒星组成的三体系统中,恒纪元与乱纪元毫无规律地交替出现。换句话说,在“三体人”的星球上,三颗太阳并不会“照常升起”,而是时有时无,不定时出现。无法破解“三体问题”奥秘的“三体人”只能不断脱水、浸泡,艰难生存。

“三体人”的困境是“三体问题”的一个极端案例。从科学角度说,“三体问题”是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体,在万有引力作用下运动的规律问题。

想理解“三体问题”必须回到问题的起点,回到牛顿时代,回到更基础的“二体问题”——两个天体如何运动?有何规律?

300多年前,据说因一颗苹果落地,牛顿发现了万有引力。在万有引力定律、牛顿力学定律的基础上,牛顿解决了“二体问题”:行星绕太阳运动的轨迹是一个能够用数学公式表示的椭圆轨道。

“在牛顿之前,人们从几何学的角度理解行星的运动——只有图像,没有物理。通过天文观测,人们知道地球绕着太阳沿椭圆轨道运动,但无法解释它为什么沿着椭圆轨道运动。”南京大学天文与空间科学学院教授周礼勇表示,牛顿解决了两个天体沿椭圆轨道运动的问题,而约翰·伯努利则给出了两个天体在万有引力作用下的轨道形状:这类轨迹在数学上被称为圆锥曲线。

解决了“二体问题”,“三体问题”乃至“N体问题”开始进入科学家的视野。

一场长达数百年的探索正式拉开帷幕。

“三体问题”无解,为什么?

无论是“二体问题”,还是“三体问题”“N体问题”,原本都是天文学的问题,倘若将天体抽象为只有质量,没有大小、体积、形状的质点,这一问题就可以转化为数学问题。

“根据抽象模型写出来的运动方程,完全可以脱离天文学的背景。如果我们去检索在‘三体问题’或者是‘N体问题’上有比较重要贡献的那些人,会发现他们基本上都是数学家。”周礼勇说,“所以其实它基本上就是一个数学问题。”

周礼勇介绍,在数学上,“三体问题”被表达为一个常微分方程组。力学系统中常常有一些守恒量,如能量守恒、动量守恒等。这些守恒量对系统的运动构成特定的限制,当这些限制条件足够多时,系统的运动就能确定下来,换句话说,这个系统的运动就被“解出”了。这意味着,科学家可以用已知的函数显式地表达出任意时刻天体的位置和速度。

对由N个常微分方程描述的力学系统,这样的限制条件被称为“首次积分”。1843年,数学家雅可比证明,只要找到N-2个首次积分,就可以完全解出N阶力学系统。

而“三体问题”正是一个18阶的力学系统。为了寻找常微分方程组的首次积分,找到“三体问题”的解析解,一代代数学家使出“十八般武艺”,试图从不同途径靠近答案。

1897年,瑞典与挪威的皇帝奥斯卡二世设立了奥斯卡二世大奖,列出了若干科学难题,其中一个就跟“三体问题”有关。该问题要求科学家给出“N体”中每个质点在任意时间上由已知函数构成的、一致收敛的级数解。

今天,人们已经知道,“三体问题”不存在这样的解析解,或者说不存在一般意义上的通解,然而数学家庞加莱却凭借对“三体问题”的研究获得了奥斯卡二世大奖。

“他获奖并不是因为找到了这个解,而是因为证明在绝大多数情况下,这样的解不存在。”周礼勇介绍,“获奖后,庞加莱还证明不存在更多的首次积分——此前已经有数学家找出了10个被称为‘经典积分’的首次积分。科学家都在思考‘三体问题’能不能解决,而庞加莱的答案是:不能解决。”

庞加莱以否定的方式解决了问题,宣告“三体问题”在通常意义下没有解析解。

1912年,芬兰数学家松德曼证明,除三体碰撞奇点的情况外,“三体问题”存在一个级数解。然而,这个级数解收敛太慢,如果想要应用它,需要写下10的800万次方项——这意味着,松德曼给出的级数解完全不可能实现实际应用。

到庞加莱和松德曼的时代,“三体问题”似乎已经走到了终点,该告一段落了,但科学家不这么想。

借助超级计算机找周期解,有用吗?

明知不可为而为之,有时正是科学的一部分。

数学家已经证明,“三体问题”没有解析形式的通解。但这并不意味着人们在这个问题上无路可走——迄今为止,科学家已经发现了成千上万族周期解。

“三体问题”既不可解又可解。当它不可解时,宛如导向了科学的“死胡同”,当它可解时,又能“冒出”海量特解,这看上去似乎十分矛盾。其实,寻找通解和特解一直是“三体问题”的两个分支。通俗地说,通解是适用于所有条件的解,而特解则是在一个或多个条件下得到的解。

周礼勇表示,“三体问题”的一类特解是周期解。所谓周期解是指天体运动的一种特殊轨道,在这样的轨道上任选一点,天体在经过一个周期后必然会以同样的速度再次通过这个点。

最先找到“三体问题”周期解的是数学家欧拉。在三个天体总是处在一条直线上的条件下,他找到了3个周期解,它们被称为“欧拉解”。此后,数学家拉格朗日在三个天体呈等边三角形构型的条件下,找到了2个周期解,这一族周期解连同“欧拉解”被统称为“拉格朗日解”,而这5个特解所在的位置又叫作“拉格朗日点”。

在寻找周期解的路上,庞大的计算量是绕不开的“拦路虎”,在用纸笔计算的年代,这项工作在很长一段时间里进展缓慢。进入计算机时代后,周期解的数量开始大幅增加:

2013年,塞尔维亚科学家利用计算机,成功找出了13族周期解。

2017年,上海交通大学廖世俊教授团队利用超级计算机,发现了695族周期解。此后,该团队发现了更多周期解。2022年,他们提出了求解“三体问题”周期解的路线图。

“超级计算机、机器学习、人工智能等工具会帮助‘三体问题’取得更多进展。”周礼勇表示,“人们求解‘三体问题’时,无非是要总结规律。这个规律在复杂的‘三体’系统里隐藏得很深,目前的人类大脑可能暂时无法找出这种规律。”

“使用超级计算机或人工智能或许能够找到规律,但想要理解规律,彻底解决‘三体问题’,还需要人类的理性。”周礼勇补充说。

找到更多周期解,探寻“三体”乃至“N体”的运动规律,对人类来说有用吗?

周礼勇说,研究“三体问题”有助于人类理解大规模、长时间尺度下天体的运动,了解太阳系外行星系统的形成和演化。当然,三体问题还是混沌系统的绝佳范例。

“实际上,‘三体问题’也是重要的数学问题,与拓扑学、几何学、动力系统等数学分支紧密相关。此外,也有人将‘三体问题’的概念拓展至量子系统等领域中。”周礼勇补充。

回过头来看《三体》里的“三体纪念碑”,那不是一座墓碑,而是一座丰碑——标记着科学家携带着人类的无穷好奇心和无限想象力,去挑战未知所付出的一切努力。它将持续书写着关于“三体问题”的勇气与荣光,过去与未来。


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2023年03月02日 09:52
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