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黎曼猜想:证明它,你将会不朽;否定它,后果很严重!

赵庆秋

2020年02月11日 03:58

卢源
观察者网

2018年9月24日,在年度海德堡获奖者论坛上,菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主阿蒂亚爵士的宣讲引爆了数学圈。他声称自己证明了久负盛名的黎曼猜想(又称黎曼假设)。

 

一个传说

不知从何时起,一个传说悄然出现——谁若能证明黎曼猜想,谁将会不朽——不仅是抽象意义上的永垂青史,而且有实际意义上的长生不老!阿蒂亚爵士现年89岁,看上去正是这一传说的佐证。

另一个佐证来自两位数学家阿达马和瓦莱·普桑。1896年,他们各自独立地证明了一个比黎曼猜想稍弱的推论——素数定理。果然,阿达马活到了98岁,瓦莱·普桑活到了96岁。

出生于波兰的数学家欧德里兹科提出了另一个说法,那就是:谁若否定了黎曼猜想,谁就会going to die。欧德里兹科甚至开玩笑说,其实黎曼猜想已经被否定了,只不过那个倒霉蛋没来得及发表文章就已死去。

 

一位大师

黎曼猜想是什么?它为何有如此巨大的魔力?这一切,还要从猜想的提出者黎曼说起。

1826年9月17日,伯恩哈德·黎曼出生于汉诺威王国东部的布雷斯伦茨村。直到14岁,黎曼才开始接受正规学校教育,之前都是身为牧师的父亲在教他。

20岁那年,黎曼被格丁根大学神学院录取,准备子承父业。但在旁听了大数学家高斯的课后,黎曼向父亲坦承,他对数学的兴趣远远超过了神学。慈祥的父亲同意他以数学为职业。自此,黎曼逐渐成为了一名数学家;之后,世上才有了黎曼几何、黎曼空间、黎曼积分……以及,黎曼猜想。

1847年,黎曼转到柏林大学学习。两年后,他回到格丁根大学攻读博士。又过了两年,他提交了一篇关于复变函数的论文,拿到博士学位。现在,他的博士论文被当作19世纪数学的经典。但在当时,该论文却并未引起除高斯外其他数学家的关注,也许是因为其思想太超前了吧。

1854年,黎曼成为格丁根大学的讲师,1857年成为副教授,1859年升任正教授。同年8月,他被柏林科学院任命为通讯院士。对于年轻的数学家来说,这是一个崇高的荣誉。按照惯例,新院士要向科学院提交一篇新论文。于是,黎曼提交了一篇题为“论小于一个给定值的素数个数”的论文。在论文中,黎曼附带提出了一个猜想。从此以后,数学变得和以前不一样了。

 

一个猜想

黎曼猜想的具体表述是:有一个特定的函数(后人称之为黎曼ζ函数),除了一些比较普通的负偶整数零点外,它的其余非平凡零点的实部都是1/2。就是这个猜想,让后世数学家如痴如醉,寝食难安。

对于非数学专业的人来说,只需要知道黎曼猜想关注的是素数分布问题即可,因为想弄明白它确实很困难。素数,就是只能被1和它本身整除的正整数,如2、3、5、7、11等。人们发现,几乎无法根据分布规律来寻找非常大的素数,它们看上去是随机出现的……真的是这样吗?黎曼觉得不是,他对此展开了研究,并把成果写进了1859年的论文中。

1900年8月8日,大数学家希尔伯特在第二届世界数学家大会上作了一个著名的演讲,提出了23个数学难题,黎曼猜想位列第8个。依赖于素数特性的现代密码编制术和破译术,其根基在于黎曼猜想。甚至原子物理学也以尚未被完全了解的方式与这个猜想扯上了关系……

2000年5月,美国克莱数学促进会宣布,对七大悬而未决的数学难题以每个100万美元的赏格寻求解答。这七大难题以“千年难题”著称,它们都是在当今数学领域中最难以攻克且具最重要意义的问题。不出所料,黎曼猜想再次入选。

 

一些轶事

黎曼猜想看起来是成立的,但是它的成立,需要一个证明。150多年来,不知有多少数学家对黎曼猜想陷入迷恋状态。

有人曾经问希尔伯特,如果500年后能重回人间,他最希望了解的事情是什么?希尔伯特回答说:“我想知道,黎曼猜想解决了没有。”

美国数学家蒙哥马利则表示,如果有魔鬼答应让数学家用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明,多数数学家将会选择黎曼猜想。

英国数学家哈代在一次从丹麦回英国的途中,碰巧遇到暴风肆虐。他很担心小船会沉没,于是在上船前给朋友寄了一张明信片,上面写道:“我证明了黎曼猜想。” 如果哈代不幸遇难,因死无对证,后世将无法否认(当然也没法确认)他真的证明了黎曼猜想。然而,上帝不想让他有这样大的荣耀,所以没有让这条船沉没。

大部分凝聚黎曼心血和洞见的手稿在他1866年去世后被管家付诸一炬,从此人们失去了近距离了解黎曼的机会,也让他卓绝非凡的智慧结晶失去了传承。黎曼的妻子侥幸抢救出一小部分手稿,并把它们赠送给了黎曼的生前好友戴德金。这些残留的珍贵手稿,最后由戴德金献给了格丁根大学图书馆。

1932年,德国数学家西格尔在对黎曼遗稿进行深入研究时发现了黎曼当年随手写下的公式,这个公式今天被称为黎曼—西格尔公式。这个被意外发现的公式,大大加速了黎曼ζ函数零点的计算工作。截至2000年底,数学家已经计算了50亿个零点,全部符合黎曼猜想。

计算机科学之父、人工智能之父图灵也被黎曼猜想深深吸引。1937年,他认定黎曼猜想不成立,于是野心勃勃地想建造一个计算装置来生成一个反例。他向英国皇家学会申请了一笔款子,并在他所任教的剑桥大学国王学院亲自动手加工了一些齿轮。由于第二次世界大战爆发,图灵的工作只能被迫中断……图灵去世时只有42岁,难道真的印证了欧德里兹科的说法?

在当今数学文献中,已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。这意味着:如果黎曼猜想被证明,所有那些数学命题就全都荣升为定理;如果黎曼猜想被否证,则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。

目前,阿蒂亚爵士的证明尚未经过同行审议。有些学者对其推演过程存疑,也有些学者对其证明方式质疑。种种迹象表明,黎曼猜想貌似并未被完全证明,大家都还有机会。

有一本书,用非数学专业人员能够理解的浅显方式,向世人展示了这个伟大的猜想,以及尝试解决它所需要的几乎全部数学知识。为了不朽和百万美元,你要不要……先搞一本《素数之恋》看看?


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2020年02月11日 11:51
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